Oblicz przedział ufności dla średniej z próby.
Wprowadź dane, aby zobaczyć wynik.
Przewodnik: przedział ufności
Przedział ufności to zakres wartości, w którym z określonym prawdopodobieństwem mieści się prawdziwa wartość populacji. 95-procentowy przedział ufności oznacza, że gdyby eksperyment powtórzyć wielokrotnie, prawdziwa średnia populacji znalazłaby się w wyznaczonym przedziale w 95% przypadków.
Margines błędu to połowa szerokości przedziału ufności, obliczana jako Z pomnożone przez błąd standardowy. Zależy od poziomu ufności (wyższy poziom = szerszy przedział) i wielkości próby (większa próba = węższy przedział). Standardem jest Z = 1,96 dla 95% ufności.
Poziom ufności: Typowe poziomy to 90%, 95% i 99%. Poziom 95% jest najczęstszy w badaniach naukowych. Wyższy poziom ufności daje szerszy przedział, ale większą pewność. Wybór zależy od kompromisu między precyzją a pewnością.
Liczebność próby a margines błędu: To halve the margin of error, we need to quadruple the sample size. Formula: n = (Z × σ / E)² where E is the desired margin of error. To get margin of 0.5 with standard deviation of 5, we need n = (1.96 × 5 / 0.5)² = 384 observations.
Interpretacja: Przedział ufności nie oznacza, że prawdziwa wartość ma 95% szans znaleźć się w tym konkretnym przedziale. Oznacza, że 95% przedziałów zbudowanych z różnych prób zawiera prawdziwą wartość. Pojedynczy przedział albo ją zawiera, albo nie.
Zmniejszenie marginesu błędu o połowę kosztuje czterokrotnie większą próbę, a nie dwukrotnie
Margines błędu maleje z pierwiastkiem liczebności próby, a nie z samą liczebnością. Ten jeden pierwiastek jest powodem, dla którego sondaże zatrzymują się mniej więcej na ±3%: przejście z 1000 respondentów na 2000 daje spadek z 3,10% do 2,19%, a zejście do ±1,55% wymaga zapłaty za 4000. Każde kolejne przepołowienie kosztuje czterokrotnie więcej niż poprzednie.
Jak to działa
- Wylicza przedział ufności dla średniej albo proporcji na wybranym poziomie ufności.
- Pokazuje margines błędu, czyli tę połowę szerokości, którą ludzie faktycznie podają.
- Liczy wstecz od docelowego marginesu do wymaganej liczebności próby — a to zwykle bardziej użyteczny kierunek.
margines = z × σ ÷ √n dla średniej margines = z × √(p(1−p) ÷ n) dla proporcji z = 1,96 przy ufności 95%, 2,576 przy 99% cała rzecz tkwi w √n: żeby zmniejszyć margines o połowę, trzeba uczwórnić n
Przykład z liczbami
Sondaż polityczny przy podziale 50/50, przy rosnących liczebnościach próby.
- n = 500 → ±4,38%
- n = 1000 → ±3,10%
- n = 2000 → ±2,19%
- n = 4000 → ±1,55%
- n = 10 000 → ±0,98%
Uczwórnienie z 1000 do 4000 zmniejsza margines o połowę, z 3,10% do 1,55%. Dlatego niemal każdy publikowany sondaż plasuje się w okolicach 1000 respondentów: to punkt, w którym koszt jednostki precyzji przestaje się opłacać.
Jak czytać wynik
- Przedział 95% nie oznacza, że jest 95% szans, iż prawdziwa wartość leży w tym konkretnym przedziale. Oznacza, że procedura wytwarza przedziały zawierające prawdziwą wartość w 95% przypadków. Rozróżnienie ma znaczenie, bo prawdziwa wartość jest ustalona, a zmienia się przedział.
- Dwa sondaże różniące się o trzy punkty przy marginesach ±3% wcale się ze sobą nie kłócą. Ich przedziały mocno na siebie zachodzą, a traktowanie tej różnicy jako realnej zmiany to najczęstszy błąd w czytaniu publikowanych sondaży.
- Wielkość populacji prawie nie wchodzi do rachunku. Zbadanie 1000 osób daje mniej więcej ten sam margines, czy populacja liczy 100 tysięcy, czy 100 milionów — dlatego sondaże ogólnokrajowe nie są proporcjonalnie większe od regionalnych.
- Margines obejmuje wyłącznie błąd losowania. Brak odpowiedzi, źle sformułowane pytania i przekrzywiony operat losowania dają błędy, których żadna liczebność próby nie naprawia, a bywają one większe niż podawane ±3%.
Częste pytania
- Dlaczego prawie wszystkie sondaże biorą około 1000 osób?
- Bo tam pierwiastek przestaje się opłacać. Tysiąc respondentów daje ±3,10%; podwojenie kosztu do 2000 poprawia to tylko do ±2,19%. Powyżej mniej więcej tego punktu pieniądze kupują więcej precyzji, niż pytanie zwykle potrzebuje.
- Czy większa populacja wymaga większej próby?
- Prawie nigdy. Wzór zawiera n, czyli liczebność próby, a nie liczebność populacji. Dobrze dobrana próba 1000 osób mierzy kraj liczący 60 milionów mniej więcej tak samo dokładnie jak miasto liczące 60 tysięcy.