Warum nutzen fast alle Umfragen etwa 1.000 Personen?

Weil sich dort die Wurzel nicht mehr rechnet. Tausend Befragte ergeben ±3,10%; die Kosten auf 2.000 zu verdoppeln verbessert das nur auf ±2,19%. Jenseits dieses Punktes kauft das Geld mehr Präzision, als die Frage gewöhnlich braucht.

Braucht eine größere Bevölkerung eine größere Stichprobe?

Fast nie. Die Formel enthält n, den Stichprobenumfang, nicht die Bevölkerungsgröße. Eine sauber gezogene Stichprobe von 1.000 misst ein Land mit 60 Millionen etwa so genau wie eine Stadt mit 60.000.

Konfidenzintervall Rechner

Berechnen Sie das Konfidenzintervall für den Stichprobenmittelwert.

Konfidenzniveau (%)

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Leitfaden: Konfidenzintervall

Konfidenzintervall ist ein Wertebereich, in dem der wahre Wert der Grundgesamtheit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt. Ein 95-%-Konfidenzintervall bedeutet: Würde man das Experiment vielfach wiederholen, läge der wahre Mittelwert der Grundgesamtheit in 95 % der Fälle im berechneten Intervall.

Fehlerspanne ist die halbe Breite des Konfidenzintervalls, berechnet als Z mal Standardfehler. Sie hängt vom Konfidenzniveau (höheres Niveau = breiteres Intervall) und vom Stichprobenumfang ab (größere Stichprobe = schmaleres Intervall). Standard ist Z = 1,96 für 95 % Konfidenz.

Konfidenzniveau: Übliche Niveaus sind 90 %, 95 % und 99 %. Das 95-%-Niveau ist in der Forschung am verbreitetsten. Ein höheres Konfidenzniveau ergibt ein breiteres Intervall, aber mehr Sicherheit. Die Wahl hängt vom Kompromiss zwischen Präzision und Sicherheit ab.

Stichprobengröße und Fehlerspanne: To halve the margin of error, we need to quadruple the sample size. Formula: n = (Z × σ / E)² where E is the desired margin of error. To get margin of 0.5 with standard deviation of 5, we need n = (1.96 × 5 / 0.5)² = 384 observations.

Interpretation: Ein Konfidenzintervall bedeutet nicht, dass der wahre Wert mit 95 % Wahrscheinlichkeit in genau diesem Intervall liegt. Es bedeutet, dass 95 % der aus verschiedenen Stichproben gebildeten Intervalle den wahren Wert enthalten. Ein einzelnes Intervall enthält ihn entweder oder nicht.

Die Fehlermarge zu halbieren kostet die vierfache Stichprobe, nicht die doppelte

Die Fehlermarge schrumpft mit der Wurzel des Stichprobenumfangs, nicht mit dem Umfang selbst. Diese eine Wurzel ist der Grund, warum Umfragen bei etwa ±3% stehen bleiben: von 1.000 auf 2.000 Befragte bringt 3,10% auf 2,19%, und für ±1,55% zahlt man 4.000. Jede weitere Halbierung kostet das Vierfache der vorherigen.

So wird gerechnet

Berechnet ein Konfidenzintervall für einen Mittelwert oder einen Anteil auf dem gewählten Niveau.
Zeigt die Fehlermarge, also die halbe Breite, die üblicherweise zitiert wird.
Rechnet von einer Zielmarge zurück auf den nötigen Stichprobenumfang — meist die nützlichere Richtung.

Marge = z × σ ÷ √n              für einen Mittelwert
Marge = z × √(p(1−p) ÷ n)       für einen Anteil

z = 1,96 bei 95% Konfidenz, 2,576 bei 99%

das √n ist alles: um die Marge zu halbieren, muss n vervierfacht werden

Rechenbeispiel

Eine politische Umfrage bei 50/50, mit wachsendem Stichprobenumfang.

n = 500 → ±4,38%
n = 1.000 → ±3,10%
n = 2.000 → ±2,19%
n = 4.000 → ±1,55%
n = 10.000 → ±0,98%

Die Vervierfachung von 1.000 auf 4.000 halbiert die Marge von 3,10% auf 1,55%. Deshalb landen fast alle veröffentlichten Umfragen bei rund 1.000 Befragten: dort hört der Preis je Präzisionseinheit auf, sich zu lohnen.

Das Ergebnis lesen

Ein 95%-Intervall bedeutet nicht, dass der wahre Wert mit 95% Wahrscheinlichkeit in genau diesem Intervall liegt. Es bedeutet, dass das Verfahren in 95% der Fälle Intervalle liefert, die den wahren Wert enthalten. Der Unterschied zählt, weil der wahre Wert feststeht und das Intervall variiert.
Zwei Umfragen mit drei Punkten Abstand und ±3% Marge widersprechen einander nicht. Ihre Intervalle überlappen stark, und den Abstand als echte Veränderung zu lesen ist die häufigste Fehldeutung veröffentlichter Umfragen.
Die Populationsgröße spielt kaum hinein. 1.000 Befragte ergeben nahezu dieselbe Marge, ob die Grundgesamtheit 100.000 oder 100 Millionen zählt — deshalb sind landesweite Umfragen nicht proportional größer als regionale.
Die Marge deckt nur den Stichprobenfehler ab. Nichtantworten, schlechte Fragenformulierung und ein verzerrter Auswahlrahmen erzeugen Fehler, die kein Stichprobenumfang behebt, und die sind meist größer als die genannten ±3%.

Häufige Fragen

Warum nutzen fast alle Umfragen etwa 1.000 Personen?: Weil sich dort die Wurzel nicht mehr rechnet. Tausend Befragte ergeben ±3,10%; die Kosten auf 2.000 zu verdoppeln verbessert das nur auf ±2,19%. Jenseits dieses Punktes kauft das Geld mehr Präzision, als die Frage gewöhnlich braucht.
Braucht eine größere Bevölkerung eine größere Stichprobe?: Fast nie. Die Formel enthält n, den Stichprobenumfang, nicht die Bevölkerungsgröße. Eine sauber gezogene Stichprobe von 1.000 misst ein Land mit 60 Millionen etwa so genau wie eine Stadt mit 60.000.