Oblicz podstawowe prawdopodobieństwo na podstawie zdarzeń sprzyjających i wszystkich możliwych.
Wprowadź dane, aby zobaczyć wynik.
P(A) = sprzyjające / wszystkie
P(A i B) = P(A) × P(B) (zdarzenia niezależne)
P(A lub B) = P(A) + P(B) − P(A i B)
Przewodnik: prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo to miara pewności wystąpienia zdarzenia, wyrażana jako liczba z przedziału od 0 do 1. P = 0 oznacza zdarzenie niemożliwe, P = 1 – zdarzenie pewne. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia orła w rzucie monetą wynosi 0,5, czyli 50%.
Prawdopodobieństwo podstawowe oblicza się jako stosunek liczby zdarzeń sprzyjających do łącznej liczby zdarzeń możliwych. Przy kostce sześciościennej, jeśli sprzyjają 3 wyniki, P = 3/6 = 0,5, czyli 50%. To klasyczne prawdopodobieństwo zakłada, że każdy wynik jest jednakowo prawdopodobny.
P(A i B) – reguła mnożenia: For two independent events, the probability of both occurring is P(A) × P(B). For example, the probability of two heads in a row is 0.5 × 0.5 = 0.25. Events are independent if the occurrence of one does not affect the other.
P(A lub B) – reguła dodawania: Dla dwóch zdarzeń prawdopodobieństwo wystąpienia co najmniej jednego z nich wynosi P(A) + P(B) – P(A i B). Odejmujemy część wspólną, aby nie liczyć jej dwa razy. Dla zdarzeń wykluczających się (nie mogą wystąpić jednocześnie) wystarczy je dodać.
Zastosowania: Prawdopodobieństwo wykorzystuje się w ubezpieczeniach do oceny ryzyka, w medycynie do badania skuteczności leków, w finansach do wyceny aktywów, w grach losowych do budowania strategii oraz w podejmowaniu decyzji biznesowych.
23 osoby dają 50,7% szansy na wspólne urodziny — ale tylko 5,9%, że ktoś ma je tego samego dnia co ty
Problem urodzinowy to najczystszy dowód na to, że prawdopodobieństwo liczy pary, a nie osoby. Wśród 23 osób jest 253 możliwych par i to właśnie pary się kumulują. Zapytaj natomiast, czy ktokolwiek trafia w jedną konkretną datę — twoją — a odpowiedź spada do 5,9%, bo teraz porównań jest tylko 22 zamiast 253.
Jak to działa
- Wylicza prawdopodobieństwa zdarzeń niezależnych, w tym przypadki „co najmniej jeden”.
- Obsługuje dopełnienie, które zwykle jest łatwiejszą drogą: 1 minus szansa, że nic się nie zdarzy.
- Obejmuje rodzinę problemów o wspólnych urodzinach, gdzie intuicja i arytmetyka ostro się rozjeżdżają.
P(co najmniej jeden) = 1 − P(żaden) wspólne urodziny wśród n osób: P = 1 − (365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365) ktoś trafiający w jedną konkretną datę: P = 1 − (364/365)^(n−1) liczba par wśród n osób = n(n−1) ÷ 2
Przykład z liczbami
Zapełniające się pomieszczenie, śledzone na dwa sposoby.
- 10 osób → 11,7% szansy, że jakaś para dzieli urodziny
- 23 osoby → 50,7%
- 30 osób → 70,6%
- 50 osób → 97,0%
- 57 osób → 99,0%
Pięćdziesiąt procent pojawia się przy 23 osobach, bo 23 osoby tworzą 253 pary. Pytanie, czy ktoś ma urodziny tego samego dnia co ty, to inne pytanie z zaledwie 22 porównaniami i stoi na 5,9% — żeby doszło do równych szans, potrzebowałbyś 253 innych osób.
Jak czytać wynik
- To, że liczba 253 pojawia się po obu stronach, nie jest zbiegiem okoliczności wartym nadinterpretacji, ale bywa użytecznym haczykiem pamięciowym: 23 osoby tworzą 253 pary, a 253 innych osób to mniej więcej tyle, ile jedna konkretna data potrzebuje do równych szans.
- Praca na dopełnieniu jest prawie zawsze łatwiejsza. Policzenie szansy, że wszystkie 23 daty urodzin się różnią, to jeden iloczyn; liczenie wprost szansy, że co najmniej jedna para się zgadza, oznaczałoby sumowanie wielkiej liczby nakładających się przypadków.
- Serie wydają się rzadsze, niż są, z tego samego powodu. W 100 rzutach monetą jest 81,0% szansy na co najmniej jedną serię pięciu orłów — ludzie czytający naprawdę losowy ciąg rutynowo dochodzą do wniosku, że musiał być ustawiony.
- Standardowy rachunek zakłada równomierne rozłożenie urodzin i pomija 29 lutego. Realne daty urodzeń układają się sezonowo, co lekko podnosi prawdziwe prawdopodobieństwo, więc 50,7% jest raczej lekkim niedoszacowaniem niż przeszacowaniem.
Częste pytania
- Dlaczego 23 wydaje się stanowczo za mało?
- Bo intuicja liczy osoby, a problem liczy pary. Każda nowa osoba jest porównywana ze wszystkimi już obecnymi, więc liczba par rośnie mniej więcej z kwadratem liczby osób: 23 osoby dają 253 porównania, a połowa tych szans wystarcza, by przekroczyć równe szanse.
- Ile osób potrzeba, żeby ktoś miał urodziny dokładnie tego samego dnia co ja?
- Około 253 innych osób dla szansy 50%. To zupełnie inne pytanie niż klasyczne, a różnica między 23 a 253 jest tu całą istotą — trafienie dowolnej pary jest łatwe, trafienie jednej ustalonej daty nie.