¿Por qué 23 parece demasiado poco?

Porque la intuición cuenta personas y el problema cuenta pares. Cada persona nueva se compara con todas las presentes, así que los pares crecen aproximadamente con el cuadrado del número de personas: 23 personas producen 253 comparaciones, y la mitad de esas oportunidades basta para superar el umbral.

¿Cuántas personas hasta que alguien tenga exactamente mi cumpleaños?

Unas 253 más para una probabilidad del 50%. Es una pregunta completamente distinta de la clásica, y la distancia entre 23 y 253 es justo el asunto: acertar cualquier par es fácil, acertar una fecha fija no lo es.

Calculadora de Probabilidad

Calcula la probabilidad básica a partir de los casos favorables y los posibles.

Tipo de cálculo

Introduce valores para ver el resultado.

P(A) = favorables / posibles

P(A y B) = P(A) × P(B) (independientes)

P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)

Guía: probabilidad

Probabilidad es una medida de la certeza de que ocurra un suceso, expresada como un número entre 0 y 1. P = 0 significa suceso imposible y P = 1, suceso seguro. Por ejemplo, la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda es 0,5, es decir, el 50 %.

Probabilidad básica se calcula como el cociente entre los casos favorables y el número total de casos posibles. En un dado de seis caras, si hay 3 casos favorables, P = 3/6 = 0,5, es decir, el 50 %. Esta probabilidad clásica supone que todos los resultados son igualmente probables.

P(A y B): regla del producto: For two independent events, the probability of both occurring is P(A) × P(B). For example, the probability of two heads in a row is 0.5 × 0.5 = 0.25. Events are independent if the occurrence of one does not affect the other.

P(A o B): regla de la suma: Para dos sucesos, la probabilidad de que ocurra al menos uno es P(A) + P(B) − P(A y B). Se resta la intersección para no contarla dos veces. Para sucesos mutuamente excluyentes (que no pueden darse a la vez), basta con sumarlos.

Aplicaciones: La probabilidad se usa en seguros para evaluar riesgos, en medicina para la eficacia de los fármacos, en finanzas para valorar activos, en el juego para diseñar estrategias y en la toma de decisiones empresariales.

23 personas dan un 50,7% de probabilidad de cumpleaños compartido, pero solo un 5,9% de que alguien comparta el tuyo

El problema del cumpleaños es la demostración más limpia de que la probabilidad cuenta pares, no personas. Entre 23 personas hay 253 pares posibles, y son los pares los que se acumulan. Pregunta en cambio si alguien coincide con una fecha concreta — la tuya — y la respuesta se desploma al 5,9%, porque ahora hay solo 22 comparaciones en vez de 253.

Cómo funciona

Calcula probabilidades de sucesos independientes, incluidos los casos de «al menos uno».
Trata el suceso complementario, que suele ser el camino más fácil: 1 menos la probabilidad de que no ocurra nada.
Cubre la familia de problemas de cumpleaños compartidos, donde intuición y aritmética divergen con fuerza.

P(al menos uno) = 1 − P(ninguno)

cumpleaños compartido entre n personas:
  P = 1 − (365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365)

alguien que coincida con una fecha concreta:
  P = 1 − (364/365)^(n−1)

pares entre n personas = n(n−1) ÷ 2

Ejemplo resuelto

Una sala que se llena, seguida de dos maneras.

10 personas → 11,7% de probabilidad de que algún par comparta cumpleaños
23 personas → 50,7%
30 personas → 70,6%
50 personas → 97,0%
57 personas → 99,0%

El cincuenta por ciento llega con 23 personas porque 23 personas forman 253 pares. Preguntar si alguien comparte tu cumpleaños es otra pregunta, con solo 22 comparaciones, y se queda en el 5,9%: necesitarías 253 personas más para llegar a una probabilidad de la mitad.

Cómo leer el resultado

Que el número 253 aparezca en ambos lados no es una casualidad que convenga sobreinterpretar, pero sí un buen gancho para la memoria: 23 personas forman 253 pares, y 253 personas más es aproximadamente lo que una fecha concreta necesita para una probabilidad de la mitad.
Trabajar con el complementario es casi siempre más fácil. Calcular la probabilidad de que los 23 cumpleaños sean distintos es un único producto; calcular directamente la probabilidad de que al menos un par coincida obligaría a sumar muchísimos casos solapados.
Las rachas parecen más raras de lo que son por el mismo motivo. En 100 lanzamientos de moneda hay un 81,0% de probabilidad de ver al menos una racha de cinco caras: quien lee una secuencia genuinamente aleatoria concluye rutinariamente que está amañada.
El cálculo estándar supone cumpleaños repartidos uniformemente e ignora el 29 de febrero. Los nacimientos reales se agrupan por estaciones, lo que eleva ligeramente la probabilidad verdadera, así que el 50,7% es más bien una leve subestimación que una sobrestimación.

Preguntas frecuentes

¿Por qué 23 parece demasiado poco?: Porque la intuición cuenta personas y el problema cuenta pares. Cada persona nueva se compara con todas las presentes, así que los pares crecen aproximadamente con el cuadrado del número de personas: 23 personas producen 253 comparaciones, y la mitad de esas oportunidades basta para superar el umbral.
¿Cuántas personas hasta que alguien tenga exactamente mi cumpleaños?: Unas 253 más para una probabilidad del 50%. Es una pregunta completamente distinta de la clásica, y la distancia entre 23 y 253 es justo el asunto: acertar cualquier par es fácil, acertar una fecha fija no lo es.