Calcola la probabilità di base da casi favorevoli e casi possibili.
Inserisci i valori per vedere il risultato.
P(A) = favorevoli / possibili
P(A e B) = P(A) × P(B) (indipendenti)
P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A e B)
Guida: probabilità
Probabilità è una misura della certezza che un evento si verifichi, espressa da un numero tra 0 e 1. P = 0 indica un evento impossibile, P = 1 un evento certo. Ad esempio, la probabilità di ottenere testa nel lancio di una moneta è 0,5, cioè il 50%.
Probabilità di base si calcola come rapporto tra i casi favorevoli e il numero totale di casi possibili. Con un dado a sei facce, se i casi favorevoli sono 3, P = 3/6 = 0,5, cioè il 50%. Questa probabilità classica presuppone che ogni esito sia ugualmente probabile.
P(A e B) – regola del prodotto: For two independent events, the probability of both occurring is P(A) × P(B). For example, the probability of two heads in a row is 0.5 × 0.5 = 0.25. Events are independent if the occurrence of one does not affect the other.
P(A o B) – regola della somma: Per due eventi, la probabilità che se ne verifichi almeno uno è P(A) + P(B) − P(A e B). Si sottrae l'intersezione per non contarla due volte. Per eventi mutuamente esclusivi (che non possono verificarsi insieme) basta sommarli.
Applicazioni: La probabilità si usa nelle assicurazioni per valutare i rischi, in medicina per l'efficacia dei farmaci, in finanza per la valutazione degli attivi, nel gioco d'azzardo per le strategie e nelle decisioni aziendali.
23 persone danno il 50,7% di probabilità di un compleanno condiviso, ma solo il 5,9% che qualcuno condivida il tuo
Il problema del compleanno è la dimostrazione più pulita che la probabilità conta coppie, non persone. Fra 23 persone ci sono 253 coppie possibili, ed è delle coppie che si accumula. Chiedi invece se qualcuno cade su una data precisa — la tua — e la risposta crolla al 5,9%, perché ora i confronti sono soltanto 22 anziché 253.
Come funziona
- Calcola probabilità di eventi indipendenti, inclusi i casi «almeno uno».
- Tratta l'evento complementare, di solito la via più semplice: 1 meno la probabilità che non accada nulla.
- Copre la famiglia dei problemi sui compleanni condivisi, dove intuizione e aritmetica divergono nettamente.
P(almeno uno) = 1 − P(nessuno) compleanno condiviso fra n persone: P = 1 − (365/365 × 364/365 × … × (365−n+1)/365) qualcuno che cade su una data precisa: P = 1 − (364/365)^(n−1) coppie fra n persone = n(n−1) ÷ 2
Esempio pratico
Una stanza che si riempie, seguita in due modi.
- 10 persone → 11,7% di probabilità che una coppia condivida il compleanno
- 23 persone → 50,7%
- 30 persone → 70,6%
- 50 persone → 97,0%
- 57 persone → 99,0%
Il cinquanta per cento arriva a 23 persone perché 23 persone formano 253 coppie. Chiedersi se qualcuno condivida il tuo compleanno è un'altra domanda, con soli 22 confronti, e si ferma al 5,9%: servirebbero 253 altre persone per arrivare a una probabilità su due.
Come leggere il risultato
- Che il numero 253 compaia da entrambe le parti non è una coincidenza da sovrainterpretare, ma è un utile appiglio mnemonico: 23 persone formano 253 coppie, e 253 altre persone è all'incirca quanto serve a una data precisa per una probabilità su due.
- Lavorare sul complementare è quasi sempre più facile. Calcolare la probabilità che tutti i 23 compleanni siano diversi è un solo prodotto; calcolare direttamente la probabilità che almeno una coppia coincida significherebbe sommare moltissimi casi sovrapposti.
- Le sequenze sembrano più rare di quanto siano per lo stesso motivo. In 100 lanci di moneta c'è l'81,0% di probabilità di vedere almeno una serie di cinque teste: chi legge una sequenza davvero casuale conclude abitualmente che sia truccata.
- Il calcolo standard presuppone compleanni distribuiti uniformemente e ignora il 29 febbraio. Le nascite reali si addensano per stagione, il che alza leggermente la probabilità vera, quindi il 50,7% è semmai una lieve sottostima anziché una sovrastima.
Domande frequenti
- Perché 23 sembra decisamente troppo poco?
- Perché l'intuizione conta persone e il problema conta coppie. Ogni nuova persona viene confrontata con tutte quelle già presenti, quindi le coppie crescono all'incirca con il quadrato del numero di teste: 23 persone producono 253 confronti, e metà di quelle occasioni basta a superare la soglia.
- Quante persone servono perché qualcuno abbia esattamente il mio compleanno?
- Circa 253 altre per una probabilità del 50%. È una domanda del tutto diversa da quella classica, e la distanza fra 23 e 253 è proprio il punto: azzeccare una coppia qualsiasi è facile, azzeccare una data fissata no.