Perché dividere per n − 1 e non per n?

Perché la media propria di un campione sta più vicina ai suoi valori di quanto non faccia la vera media di popolazione, il che fa sembrare gli scarti minori di quanto siano. Dividere per n − 1 corregge questa distorsione. Con cinque valori alza il risultato del 10,56%, con cento di mezzo punto percentuale.

Una deviazione standard alta è negativa?

Solo rispetto a ciò che ti aspetti. Molta dispersione in una tolleranza di produzione è un difetto; molta dispersione in un portafoglio di rendimenti può essere il prezzo di quei rendimenti. Il numero descrive la regolarità, e se la regolarità sia desiderabile dipende interamente da ciò che si misura.

Calcolatore di Deviazione Standard

Calcola media, varianza e deviazione standard di un insieme di dati.

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La varianza di popolazione divide per N, quella campionaria per N−1

Guida: deviazione standard e varianza

Varianza misura quanto i dati siano dispersi attorno alla media. Si calcola come media degli scarti al quadrato dalla media. Una varianza maggiore indica dati più dispersi. È una misura di dispersione fondamentale in statistica.

Deviazione standard è la radice quadrata della varianza. Si esprime nelle stesse unità dei dati originali, il che ne facilita l'interpretazione. Ad esempio, se le vendite medie sono 1000 con una deviazione standard di 200, i valori tipici si collocano di norma tra 800 e 1200.

Popolazione vs campione: La varianza di popolazione divide per N e si applica all'intera popolazione. La varianza campionaria divide per N-1 ed è una stima migliore di una popolazione più ampia a partire da un campione. È la correzione di Bessel, che elimina la distorsione della stima.

Interpretazione: Una deviazione standard piccola indica che i dati si addensano attorno alla media. Una grande indica un'ampia dispersione dei valori. La regola 68-95-99,7 afferma che circa il 68% dei dati rientra entro una deviazione standard, il 95% entro due e il 99,7% entro tre.

Due insiemi con la stessa media di 50 differiscono di venti volte nella dispersione

La media dice dov'è il centro e nulla su quanto qualsiasi cosa ne disti. L'insieme 48, 49, 50, 51, 52 e l'insieme 10, 30, 50, 70, 90 hanno entrambi media esattamente 50, eppure uno ha deviazione standard 1,58 e l'altro 31,62. Riportare solo la media butta via l'intera differenza fra i due.

Come funziona

Calcola deviazione standard e varianza di un insieme di valori.
Usa la formula campionaria, dividendo per n − 1, e spiega quando è invece corretta quella di popolazione.
Mostra quanta parte dei dati cade entro una, due e tre deviazioni dalla media.

campione:    s = √( Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1) )
popolazione: σ = √( Σ(x − µ)² ÷ n )

la varianza è la stessa cosa prima della radice

per dati all'incirca normali:
  68% entro 1 DS, 95% entro 2 DS, 99,7% entro 3 DS

Esempio pratico

Due insiemi da cinque valori con medie identiche.

A = 48, 49, 50, 51, 52 → media 50,0, DS 1,58
B = 10, 30, 50, 70, 90 → media 50,0, DS 31,62
la dispersione differisce di un fattore 20
con media 50 e DS 10 circa il 68% dei valori cade fra 40 e 60
e circa il 95% fra 30 e 70

Entrambi gli insiemi dichiarano una media di 50 e descrivono situazioni completamente diverse. A è un processo stabile; B è a malapena un processo. Qualsiasi sintesi che citi la sola media lo nasconde del tutto.

Come leggere il risultato

Dividi per n − 1 per un campione e per n per un'intera popolazione. La correzione pesa di più quando n è piccolo: con cinque valori dividere per n sottostima la deviazione del 10,56%, mentre con n = 100 l'errore è dello 0,50% e diventa irrilevante.
Per l'insieme A la formula di popolazione dà 1,414 e quella campionaria 1,581. Nessuna è sbagliata: rispondono a domande diverse, e la versione campionaria è quella onesta quando i tuoi cinque valori provengono da qualcosa di più ampio.
La regola 68–95–99,7 presuppone una distribuzione all'incirca normale. Applicata a dati asimmetrici — redditi, tempi di attesa, dimensioni di file — sbaglierà pesantemente su quanto sta in ciascuna fascia, e tali distribuzioni sono estremamente comuni.
La deviazione standard condivide le unità dei dati, ed è per questo che si cita al posto della varianza. La varianza è in unità al quadrato, così una dispersione di 31,62 diventa una varianza di 1.000, un numero privo di significato fisico.

Domande frequenti

Perché dividere per n − 1 e non per n?: Perché la media propria di un campione sta più vicina ai suoi valori di quanto non faccia la vera media di popolazione, il che fa sembrare gli scarti minori di quanto siano. Dividere per n − 1 corregge questa distorsione. Con cinque valori alza il risultato del 10,56%, con cento di mezzo punto percentuale.
Una deviazione standard alta è negativa?: Solo rispetto a ciò che ti aspetti. Molta dispersione in una tolleranza di produzione è un difetto; molta dispersione in un portafoglio di rendimenti può essere il prezzo di quei rendimenti. Il numero descrive la regolarità, e se la regolarità sia desiderabile dipende interamente da ciò che si misura.