Ich hatte zehnmal Kopf hintereinander. Ist das kaputt?

Für sich genommen nein. Jede bestimmte Zehnerfolge hat die Wahrscheinlichkeit 0,5^10 ≈ 1 zu 1024, und zehnmal Kopf ist nicht unwahrscheinlicher als jede andere bestimmte Folge. Nach ein paar hundert Würfen fühlen sich lange Serien normal an.

Ist ein Münzwurf eine faire Entscheidung?

Ja, und fair ist er genau deshalb, weil er gedächtnislos ist. Keine Seite verbessert ihre Chancen durch den Zeitpunkt des Ansagens — darum wird er für Anstoß und Stichentscheid genutzt.

Münzwurf — online eine Münze werfen

Je öfter Sie werfen, desto näher liegt das Verhältnis bei 50/50 — eine Serie von sechs Mal Kopf ist unterwegs trotzdem völlig normal.

Eine faire Münze hat kein Gedächtnis und keine Pflicht, sich bald auszugleichen

Man erwartet, dass eine faire Münze sich korrigiert: sechsmal Kopf, also ist Zahl fällig. Ist sie nicht. Jeder Wurf ist unabhängig, und was tatsächlich passiert, ist feiner — der Abstand zwischen Kopf und Zahl wächst tendenziell, während sich das Verhältnis der Hälfte nähert.

So wird gerechnet

Wirft eine Münze oder hundert auf einmal, aus der kryptografischen Zufallsquelle des Browsers.
Verfolgt das laufende Kopf-Zahl-Verhältnis und zeigt es als Balken, der auf 50/50 zuläuft.
Hält die längste Serie derselben Seite in der Sitzung fest.

P(Kopf) = P(Zahl) = 0,5 bei jedem Wurf, unabhängig von der Historie

P(einer bestimmten Serie von k gleichen Seiten) = 0,5^k
erwartete längste Serie in n Würfen ≈ log2(n)

Rechenbeispiel

Hundert Würfe, dann tausend.

100 Würfe: ein Verhältnis von 55/45 ist völlig normal — Anteil 55%, Abstand 10
1000 Würfe: ein typisches Ergebnis wäre 517/483 — Anteil 51,7%, aber der Abstand ist auf 34 gewachsen
erwartete längste Serie bei 1000 Würfen ≈ log2(1000) ≈ 10 gleiche Seiten in Folge

Der Prozentsatz nähert sich 50, während die absolute Differenz größer wird. Beides tut eine faire Münze; nur das Erste erwartet man.

Das Ergebnis lesen

Der Spielerfehlschluss ist der Glaube, eine Kopf-Serie mache Zahl wahrscheinlicher. Tut sie nicht: Die Münze kennt den letzten Wurf nicht. Das Verhältnis wird nicht durch Ausgleich korrigiert, sondern durch Verdünnung — spätere Würfe überstimmen das frühe Ungleichgewicht.
Eine Serie von sechs gleichen Seiten in 100 Würfen ist unauffällig; die erwartete längste Serie liegt bei etwa log2(100) ≈ 7.
Eine echte Münze ist leicht zu der Seite hin verzerrt, die oben startete, weil sie um eine Achse rotiert statt perfekt zu taumeln. Ein gezogenes Bit hat diese Physik nicht.

Häufige Fragen

Ich hatte zehnmal Kopf hintereinander. Ist das kaputt?: Für sich genommen nein. Jede bestimmte Zehnerfolge hat die Wahrscheinlichkeit 0,5^10 ≈ 1 zu 1024, und zehnmal Kopf ist nicht unwahrscheinlicher als jede andere bestimmte Folge. Nach ein paar hundert Würfen fühlen sich lange Serien normal an.
Ist ein Münzwurf eine faire Entscheidung?: Ja, und fair ist er genau deshalb, weil er gedächtnislos ist. Keine Seite verbessert ihre Chancen durch den Zeitpunkt des Ansagens — darum wird er für Anstoß und Stichentscheid genutzt.