Berechnen Sie Durchschnitt (Mittelwert), mittleren Wert (Median) und häufigsten Wert (Modus).
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Mittelwert: Summe aller Werte / Anzahl der Elemente
Median: mittlerer Wert der sortierten Daten
Modus: der am häufigsten vorkommende Wert
Leitfaden: Mittelwert, Median und Modus
Das arithmetische Mittel ist das am häufigsten verwendete Maß der zentralen Tendenz; man summiert alle Werte und teilt durch deren Anzahl. Am besten eignet es sich für symmetrisch verteilte Daten ohne extreme Ausreißer. Gruppieren sich die Daten um den Mittelwert, ergibt sich ein vollständiges Bild des typischen Werts.
Der Median ist der Wert, der den Datensatz in zwei gleiche Hälften teilt: Die Hälfte der Werte liegt darunter, die Hälfte darüber. Er ist robust gegenüber Ausreißern und daher ideal für Daten mit Extremwerten oder schiefen Verteilungen. Häufig wird er bei Einkommen, Immobilienpreisen und anderen Wirtschaftsdaten verwendet.
Der Modus ist der am häufigsten vorkommende Wert eines Datensatzes. Er hilft, die beliebteste Kategorie oder Option zu erkennen. Sind alle Werte einzigartig, gibt es keinen Modus – eine solche Verteilung heißt amodal.
Wann welcher zu verwenden ist: Verwenden Sie den Mittelwert bei symmetrischen Daten ohne Ausreißer, den Median bei schiefen Daten oder Daten mit Extremwerten und den Modus bei kategorialen Daten oder wenn Sie die häufigste Antwort wissen möchten.
Ein Ausreißer verschiebt den Mittelwert um 44,6 und den Median um exakt null
Zehn Gehälter mit einem Mittelwert von 40 haben einen Median von 39 — beide liegen dicht beieinander, wie bei den meisten gutartigen Daten. Ersetzen Sie die Spitzenverdienerin durch 500, und der Mittelwert springt auf 84,6, während sich der Median überhaupt nicht bewegt. Der Mittelwert liegt nun über neun der zehn Personen, die er beschreibt — der Moment, in dem ein Durchschnitt aufhört, irgendetwas zu beschreiben.
So wird gerechnet
- Berechnet Mittelwert, Median, Modus und Spannweite einer Wertemenge.
- Zeigt alle drei gemeinsam, denn der Abstand zwischen ihnen verrät die Form der Daten.
- Behandelt mehrere Modi und Mengen gerader Größe, wo der Median die Mitte des mittleren Paares ist.
Mittelwert = Summe ÷ Anzahl bewegt sich mit jedem Wert Median = mittlerer Wert nach Sortierung bewegt sich nur mit der Mitte Modus = häufigster Wert kann fehlen oder mehrfach sein Mittelwert weit über Median → langer Schwanz nach rechts Mittelwert ≈ Median → näherungsweise symmetrisch
Rechenbeispiel
Zehn Gehälter, dann dieselben zehn mit einer Änderung.
- 30, 32, 35, 36, 38, 40, 42, 45, 48, 54
- Mittelwert 40,0, Median 39,0 — dicht beieinander
- 54 durch 500 ersetzen
- Mittelwert 84,6, Median 39,0
- 9 der 10 Werte liegen nun unter dem Mittelwert
Der Mittelwert bewegte sich um 44,6, der Median um 0,0. Nur den Durchschnitt zu berichten beschriebe diese Gruppe mit 84,6, während neun von ihnen weniger als die Hälfte davon verdienen. Der Median ist nicht allgemein richtiger — er ist robuster, eine andere Eigenschaft und hier die entscheidende.
Das Ergebnis lesen
- Einkommen, Immobilienpreise, Wartezeiten und Dateigrößen haben lange rechte Schwänze, der Mittelwert liegt also in aller Regel über dem Median. Deshalb berichten nationale Statistiken das mittlere Haushaltseinkommen als Median: der Mittelwert beantwortet eine Frage, die kaum jemand stellt.
- Der Mittelwert bleibt die richtige Wahl, wenn jeder Wert gleich zählen soll — bei Summen, Budgets, allem, was Sie wieder mit der Anzahl multiplizieren. Nehmen Sie den Median, wenn Sie einen typischen Fall wollen und der Schwanz nicht der Punkt ist.
- Der Modus ist der einzige, der auf Kategorien statt auf Zahlen funktioniert. Er ist auch der instabilste: eine Menge kann keinen, einen oder mehrere Modi haben, und eine einzige zusätzliche Beobachtung kann die Antwort völlig ändern.
- Wenn Mittelwert und Median stark auseinanderliegen, ist dieser Abstand selbst der Befund. Berichten Sie beide, statt zu wählen, denn die Differenz sagt der Leserschaft, dass die Verteilung schief ist und eine einzelne Zahl sie nicht abbildet.
Häufige Fragen
- Welchen Durchschnitt soll ich verwenden?
- Vergleichen Sie sie zuerst. Liegen Mittelwert und Median nah beieinander, geht beides. Gehen sie auseinander, haben die Daten einen Schwanz, und der Median beschreibt den typischen Fall, während der Mittelwert die aufgeteilte Summe beschreibt. Keiner ist falsch; sie beantworten verschiedene Fragen.
- Warum liegt das Durchschnittsgehalt über dem, was die meisten verdienen?
- Weil wenige sehr hohe Einkommen den Mittelwert nach oben ziehen und den Median unberührt lassen. Im Beispiel oben übersteigt der Mittelwert das Einkommen von neun der zehn Personen — korrekte Arithmetik und trotzdem eine schlechte Beschreibung der Gruppe.